Задание №1

Вычислить неопределенный интеграл:\:\normalsize{{{\int}} \left (5x^3+\sqrt x -\frac{4}{x}+2\,\sin x \right )dx.}

Решение:

Используя свойство линейности разобьем исходный интеграл на простейшие интегралы,
каждый из которых найдем с помощью таблицы интегралов.


\normalsize{{{\int}} \left (5x^3+\sqrt x -\frac{4}{x}+2\,\sin x \right )dx= 5\int x^3dx+\int x^{\frac{1}{2}}-4\int \frac{dx}{x}+2\int\sin x\,dx=}

\normalsize{=5\cdot \frac{x^4}{4} +\frac{ x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-4\ln|x|-2\cos x+C=\frac{5}{4} x^4+\frac{ 2}{3}x\sqrt x-4\ln|x|-2\cos x+C.}

Ответ:\:\normalsize{\frac{5}{4} x^4+\frac{ 2}{3}x\sqrt x-4\ln|x|-2\cos x+C.}




Задание №2

Вычислить неопределенный интеграл:\:\normalsize{{{\int}} \left (3^x-\frac{5}{\sin^{\small 2}x} \right )dx.}

Решение:

Используя свойство линейности разобьем исходный интеграл на два табличных интеграла.


\normalsize{{{\int}} \left (3^x-\frac{5}{\sin^{\small 2}x} \right )dx= \int 3^xdx-5\int \frac{dx}{\sin^{\small 2}x}=\frac{3^x}{\ln 3}+5{\rm {ctg}}x+C. }



Ответ:\:\normalsize{\frac{3^x}{\ln 3}+5{\rm {ctg}}x+C.}




Задание №3

Вычислить неопределенный интеграл:\:\normalsize{{{\int}} \frac{dx}{x^{\small 2}+5}.}

Решение:

Исходный интеграл является табличным.


\normalsize{{{\int}} \frac{dx}{x^{\small 2}+5}= {{\int}} \frac{dx}{x^{\small 2}+({\sqrt 5})^{\small 2}}=\frac{1}{\sqrt 5}{\rm {arctg}}\frac{x}{\sqrt 5}+C. }



Ответ:\:\normalsize{\frac{1}{\sqrt 5}{\rm {arctg}}\frac{x}{\sqrt 5}+C. }




Задание №4

Вычислить неопределенный интеграл:\:\normalsize{{{\int}} (\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})^{\small 2}dx.}

Решение:

После возведения подинтегральной функции в квадрат и использования основного
тригонометрического тождества и формулы синуса двойного угла, получим:


\normalsize{{{\int}} (\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})^{\small 2}dx= {{\int}} (\sin^ {\small 2}\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^{\small 2} \frac{x}{2})dx=}


\normalsize{=\int (1-\sin x)dx=\int dx-\int \sin xdx=x+\cos x +C. }



Ответ:\:\normalsize{x+\cos x +C. }




Задание №5

Вычислить неопределенный интеграл:\:\normalsize{\int \cos(5-4x) dx.}

Решение:

Для вычисления исходного интеграла используем следующее свойство неопределенного интеграла:


Если \:\normalsize{\int f(x) dx=F(x)+C,}\: то \:\normalsize{\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C.}


Так как \:\normalsize{\int \cos(x) dx=\sin(x)+C,}\: то \:\normalsize{\int \cos(5-4x)dx=-\frac{1}{4}\sin(5-4x)+C.}


Ответ:\:\normalsize{-\frac{1}{4}\sin(5-4x)+C.}



Задание №6

Найти первообразную функции \:\normalsize{y=4x^3-2x-3,}\: график которой проходит через точку \:\normalsize{A(-1;2).}

Решение:


Для отыскания совокупности первообразных вычислим неопределенный интеграл.


\normalsize{F(x)=\int(4x^3-2x-3)dx=x^4-x^2-3x+C.}



Вычислим значение постоянной при котором данная точка лежит на графике.
Для этого должно выполняться: \normalsize{F(-1)=2.} Тогда


\normalsize{(-1)^4-(-1)^2-3(-1)+C=2\:\Leftrightarrow\:C=-1.}


Таким образом, искомая первообразная имеет вид:


\normalsize{F(x)=x^4-x^2-3x-1.}

graf_pervoob


Ответ:\:\normalsize{F(x)=x^4-x^2-3x-1.}


Остання зміна: Tuesday, 11 February 2014, 08:39